Python绘制分形图案探索无限细节和奇妙之美

本文将介绍如何使用Python绘制各种分形图案，包括分形树、科赫曲线、曼德博集合等。通过本文读者可以了解分形图案的基本概念和构造方法，并学会使用Python绘制出各种精美的分形图案。本文还提供了具体的代码示例和实践案例，帮助读者更好地理解分形图案的奇妙之美

分形在数据科学中发挥着重要作用。例如，在分形分析中，对数据集的分形特征进行评估，以帮助理解基础过程的结构。此外，处于分形生成中心的循环算法可以应用于广泛的数据问题，例如从二进制搜索算法到递归神经网络。

一、目标

写一个可以画等边三角形的程序，并且在三角形的每条边上，它必须能够绘制一个稍微小一点的向外的三角形。能够根据人的意愿多次重复此过程，从而创建一些有趣的模式。

二、表示图像

把图像表示为一个二维的像素阵列。像素阵列中的每个单元格将代表该像素的颜色（RGB）。

为此，可以使用NumPy库生成像素数组，并使用Pillow将其转换为可以保存的图像。

蓝色像素的x值为3，y值为4，可以通过一个二维数组访问，如pixels[4][3]

三、画一条线

现在开始编码，首先，需要一个可以获取两组坐标并在它们之间画一条线的函数。

下面的代码通过在两点之间插值来工作，每一步都向像素阵列添加新的像素。你可以把这个过程看作是在一条线上逐个像素地进行着色。

可以在每个代码片段中使用连续字符“\”来容纳一些较长的代码行。

import numpy as np from PIL import Image import math def plot_line(from_coordinates, to_coordinates, thickness, colour, pixels): # 找出像素阵列的边界 max_x_coordinate = len(pixels[0]) max_y_coordinate = len(pixels) # 两点之间沿着x轴和y轴的距离 horizontal_distance = to_coordinates[1] - from_coordinates[1] vertical_distance = to_coordinates[0] - from_coordinates[0] # 两点之间的总距离 distance =  math.sqrt((to_coordinates[1] - from_coordinates[1])**2 \ + (to_coordinates[0] - from_coordinates[0])**2) # 每次给一个新的像素上色时，将向前走多远 horizontal_step = horizontal_distance/distance vertical_step = vertical_distance/distance # 此时，将进入循环以在像素数组中绘制线 # 循环的每一次迭代都会沿着线添加一个新的点 for i in range(round(distance)): # 这两个坐标是直线中心的坐标 current_x_coordinate = round(from_coordinates[1] + (horizontal_step*i)) current_y_coordinate = round(from_coordinates[0] + (vertical_step*i)) # 一旦得到了点的坐标， # 就在坐标周围画出尺寸为thickness的图案 for x in range (-thickness, thickness): for y in range (-thickness, thickness): x_value = current_x_coordinate + x y_value = current_y_coordinate + y if (x_value > 0 and x_value  0 and y_value

此函数在像素阵列的每个角之间绘制一条黄线时的结果

四、画三角形

现在有了一个可以在两点之间画线的函数，可以画第一个等边三角形了。

给定三角形的中心点和边长，可以使用公式计算出高度：h = ½(√3a)。

现在利用这个高度、中心点和边长，可以计算出三角形的每个角的位置。使用之前制作的plot_line函数，可以在每个角之间画一条线。

def draw_triangle(center, side_length, thickness, colour, pixels): # 等边三角形的高度是，h = ½(√3a) # 其中a是边长 triangle_height = round(side_length * math.sqrt(3)/2) # 顶角 top = [center[0] - triangle_height/2, center[1]] # 左下角 bottom_left = [center[0] + triangle_height/2, center[1] - side_length/2] # 右下角 bottom_right = [center[0] + triangle_height/2, center[1] + side_length/2] # 在每个角之间画一条线来完成三角形 plot_line(top, bottom_left, thickness, colour, pixels) plot_line(top, bottom_right, thickness, colour, pixels) plot_line(bottom_left, bottom_right, thickness, colour, pixels)

在500x500像素PNG的中心绘制三角形时的结果

五、生成分形

一切都已准备就绪，可以用Python创建第一个分形。

但是最后一步是最难完成的，三角形函数为它的每一边调用自己，需要能够计算每个新的较小三角形的中心点，并正确地旋转它们，使它们垂直于它们所附着的一侧。

通过从旋转的坐标中减去中心点的偏移量，然后应用公式来旋转一对坐标，可以用这个函数来旋转三角形的每个角。

def rotate(coordinate, center_point, degrees): # 从坐标中减去旋转的点 x = (coordinate[0] - center_point[0]) y = (coordinate[1] - center_point[1]) # Python的cos和sin函数采用弧度而不是度数 radians = math.radians(degrees) # 计算旋转点 new_x = (x * math.cos(radians)) - (y * math.sin(radians)) new_y = (y * math.cos(radians)) + (x * math.sin(radians)) # 将在开始时减去的偏移量加回旋转点上 return [new_x + center_point[0], new_y + center_point[1]]

将每个坐标旋转35度的三角形

可以旋转一个三角形后，思考如何在第一个三角形的每条边上画一个新的小三角形。

为了实现这一点，扩展draw_triangle函数，为每条边计算一个新三角形的旋转和中心点，其边长被参数shrink_side_by减少。

一旦它计算出新三角形的中心点和旋转，它就会调用draw_triangle（自身）来从当前线的中心画出新的、更小的三角形。然后，这将反过来打击同一个代码块，为一个更小的三角形计算另一组中心点和旋转。

这就是所谓的循环算法，因为draw_triangle函数现在会调用自己，直到达到希望绘制的三角形的最大深度。有这个转义句子是很重要的，因为理论上这个函数会一直循环下去（但实际上调用堆栈会变得太大，导致堆栈溢出错误）。

def draw_triangle(center, side_length, degrees_rotate, thickness, colour, \ pixels, shrink_side_by, iteration, max_depth): # 等边三角形的高度是，h = ½(√3a) # 其中'a'是边长 triangle_height = side_length * math.sqrt(3)/2 # 顶角 top = [center[0] - triangle_height/2, center[1]] # 左下角 bottom_left = [center[0] + triangle_height/2, center[1] - side_length/2] # 右下角 bottom_right = [center[0] + triangle_height/2, center[1] + side_length/2] if (degrees_rotate != 0): top = rotate(top, center, degrees_rotate) bottom_left = rotate(bottom_left, center, degrees_rotate) bottom_right = rotate(bottom_right, center, degrees_rotate) # 三角形各边之间的坐标 lines = [[top, bottom_left],[top, bottom_right],[bottom_left, bottom_right]] line_number = 0 # 在每个角之间画一条线来完成三角形 for line in lines: line_number += 1 plot_line(line[0], line[1], thickness, colour, pixels) # 如果还没有达到max_depth，就画一些新的三角形 if (iteration  -0.0001): if (center_of_line[0] - center[0] > 0): new_center = [center_of_line[0] + triangle_height * \ (shrink_side_by/2), center_of_line[1]] else: new_center = [center_of_line[0] - triangle_height * \ (shrink_side_by/2), center_of_line[1]] else: # 计算直线梯度的法线 difference_from_center = -1/gradient # 计算这条线距中心的距离 # 到新三角形的中心 distance_from_center = triangle_height * (shrink_side_by/2) # 计算 x 方向的长度， # 从线的中心到新三角形的中心 x_length = math.sqrt((distance_from_center**2)/ \ (1 + difference_from_center**2)) # 计算出x方向需要走哪条路 if (center_of_line[1]  0): x_length *= -1 # 现在计算Y方向的长度 y_length = x_length * difference_from_center # 用新的x和y值来偏移线的中心 new_center = [center_of_line[0] + y_length, \ center_of_line[1] + x_length] draw_triangle(new_center, new_side_length, new_rotation, \ thickness, colour, pixels, shrink_side_by, \ iteration+1, max_depth)