堆是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称，通常是一个可以被看做一棵完全二叉树的数组对象。而堆排序是利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。本文将通过图片详细介绍堆排序，需要的可以参考一下
有关二叉树的性质：
1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 .
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有 ＝ ＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= . (ps： 是log以2 为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对 于序号为i的结点有：
1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2. 若2i+1
3. 若2i+2
有关堆
存储结构：
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结 构存储。现实中我们通常把堆(一种完全二叉树)使用顺序结构的数组来存储
堆的概念和结构：
堆的性质：
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。
上面这些都是复制粘贴的， 想看了随便看看。下面给出自己的一些总结：
C++实现堆
Heap.h
#pragma once #include#include #include #include using namespace std; typedef int DataType; class Heap { public: Heap() :a(new DataType[1]), size(0), capacity(1) {} ~Heap() { delete[]a; a = nullptr; size = capacity = 0; } public: void Push(const DataType& x); void Pop(); // 删除堆顶的数据 DataType Top()const; bool Empty()const; int Size()const; void Swap(DataType& a, DataType& b); void print(); public: void AdjustUp(int child); void AdjustDown(int size, int parent); private: DataType* a; int size; int capacity; };
Heap.cpp
#include"Heap.h" void Heap::Swap(DataType& a, DataType& b) { DataType tmp = a; a = b; b = tmp; } void Heap::Push(const DataType& x) { if (size == capacity) { int newcapacity = capacity == 0 ? 1 : capacity * 2; DataType* tmp = new DataType[newcapacity]; assert(tmp); std::copy(a, a + size, tmp); delete a; a = tmp; capacity = newcapacity; } a[size] = x; AdjustUp(size); ++size; } void Heap::Pop() // 删除堆顶的数据 { assert(size > 0); Swap(a[0], a[size - 1]); size--; AdjustDown(size, 0); } DataType Heap::Top()const { assert(size > 0); return a[0]; } bool Heap::Empty()const { return size == 0; } int Heap::Size()const { return size; } void Heap::AdjustUp(int child) { int parent = (child - 1) / 2; while (child > 0) { if (a[parent] > a[child]) { Swap(a[parent], a[child]); child = parent; parent = (child - 1) / 2; } else { break; } } //int parent = (child - 1) / 2; //if(child > 0) //{ // if (a[parent] > a[child]) // { // Swap(a[parent], a[child]); // child = parent; // AdjustUp(child); // } // else // { // return; // } //} } void Heap::AdjustDown(int size,int parent) // size 是总大小，parent是从哪里开始向下调整 { int child = parent * 2 + 1; while (child 其实Heap这个类 物理结构就是一个一维数组，只是逻辑结构是一个堆，我们将其想象成一个具有特定规律的完全二叉树：特定规律就是任意一个二叉树的根节点都>=或<=其子节点。
这个Heap类的关键是push和pop函数，与之相关的是向上调整和向下调整函数，这也是堆的精髓所在。
push是在数组尾部也就是堆的最下面插入一个元素，此时应该调用向上调整算法，因为此结点的插入可能破坏了原来的堆的结构，因此，向上调整即可，但是有个前提，即插入此结点之前这个完全二叉树本身符合堆的特性。并且调整只会影响此插入结点的祖宗，不会对其他节点产生影响。
pop是删除堆顶的元素，且只能删除堆顶的元素，因为堆这个数据结构的一个主要功能就是选数：即选出当前堆中最大或者最小的数，并且选数的效率很高。pop删除堆顶元素之后，再进行一下调整即可选出次大或者次小的元素。
那么，怎么删除呢？即将堆顶和末尾的数字交换，然后删除交换后的末尾数字，此时堆顶元素很可能破坏了堆的结构，因此采用向下调整的算法。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。
堆的应用
向上调整算法和向下调整算法不仅仅用于Heap的插入和删除操作，在堆排序等堆的应用中也要使用。
堆排序
传入一个数组，对数组进行排序，且是一个O(N*LogN)的算法，效率很高。
void AdjustUp(int* a, int child) { int parent = (child - 1) / 2; while (child > 0) { if (a[parent] > a[child]) { swap(a[parent], a[child]); child = parent; parent = (child - 1) / 2; } else { break; } } } void AdjustDown(int* a,int size, int parent) // size 是总大小，parent是从哪里开始向下调整 { int child = parent * 2 + 1; while (child HeapSort
void HeapSort(int* a, int n) { // 将传入的数组看作一个完全二叉树，然后调整为堆。 // 升序调整为大根堆，降序小根堆。 // 建堆方式1： O(N*LogN) // 利用向上调整算法,其实就是堆的插入函数 //for (int i = 1; i = 0; --i) { AdjustDown(a, n, i); } // 建好堆之后排序 目前是一个小堆，小堆用来排降序 // 5 13 17 19 22 27 32 35 38 42 45 // O(N * LogN); int end = n - 1; while (end > 0) { swap(a[0], a[end]); AdjustDown(a, end, 0); end--; } } 前面说过，堆的一个主要或者说唯一作用就是选数，大根堆选出最大数，小根堆选出最小数，先将给定数组调整为堆，若排升序则调整为大根堆，此时a[0]即最大值，将其与数组末尾数组交换，然后进行向下调整即可选出次大值，再进行交换即可。整个逻辑十分像Heap类的删除操作，只是将删除了的堆顶元素放置在数组末尾而已，然后不断进行这个操作，直到整个数组有序。
将数组调整为堆的思路有两个，一种是模拟插入的操作，从头遍历逐个将元素进行向上调整操作，主要是因为向上调整算法必须基于此完全二叉树本身就是一个堆，才可以进行向上调整操作。所以从尾开始向上调整肯定是不行的。
思路二与思路一有相同之处，即利用向下调整算法，向下调整基于此结点的左子树和右子树都是堆，所以直接从头开始向下调整不可以，所以从尾向前遍历进行向下调整，且末尾的叶子结点没有必要调整，所以从第一个结点数>=2的二叉树开始进行向下调整。
HeapSort的逻辑不会受升序和降序的影响，只需要将AdjustUp和AdjustDown的调整逻辑改变即可。
为什么排升序要建大根堆，不建小根堆呢？
首先，如果建小根堆，确实建好之后的数组比较像升序，且此时最小值也已经在数组的a[0]处，但是，选次大的元素时，对于后面a[1] 至 a[n-1]个元素，此时之前堆的兄弟父子关系全都乱了，向上调整和向下调整都不可以，只能重建堆，而重建堆的时间复杂度为O(N)。如此下去，每次挑出最大值都需要O(N)，最终的就是O(N)+O(N-1)+...+O(2)... 总的就是O(N^2)了。
而如果建大根堆，a[0]就是最大值，将其与数组末尾进行交换，这个交换操作只是O(1)的操作，最重要的是交换之后，把末尾元素忽视之后的这个完全二叉树，只有堆顶元素不符合堆，只需向下调整一次即可，为O(logN),即可选出次大值，相比于前面的O(N)就快了很多。
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